指数函数
e
z
{\displaystyle e^{z}}
可以定义为
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle (1+{\frac {z}{n}})^{n}}
在
n
{\displaystyle n}
趋于无穷时的极限。在本动画中，
z
=
i
π
3
{\displaystyle z={\frac {i\pi }{3}}}
而
n
{\displaystyle n}
选取从1增到100的各种值。
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle (1+{\frac {z}{n}})^{n}}
的计算显示为在复平面上
n
{\displaystyle n}
次乘法的组合效果。随著
n
{\displaystyle n}
变大，这些点趋近于复平面单位圆，覆及
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
弧度的角度。
如同在实数情况下，在复平面的指数函数可以用多种等价方式定义。比如幂级数形式的:
e
z
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
或者序列的极限：
e
z
=
lim
n
→
∞
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}
它带有虚数周期
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
[prove 1]，它可以写为
e
a
+
b
i
=
e
a
(
cos
b
+
i
sin
b
)
{\displaystyle \!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}
这里的
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是实数值。参见欧拉公式，这个公式把指数函数和三角函数与指数函数联系起来。
在考虑定义在复平面上的函数的时候，指数函数拥有重要的性质
e
z
+
w
=
e
z
e
w
{\displaystyle \!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}}
e
0
=
1
{\displaystyle \!\,e^{0}=1}
e
z
≠
0
{\displaystyle \!\,e^{z}\neq 0}
d
d
z
e
z
=
e
z
{\displaystyle \!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}}
(
e
z
)
n
=
e
n
z
,
n
∈
Z
{\displaystyle \,(e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }
对于所有的
z
{\displaystyle z}
和
w
{\displaystyle w}
。
它是周期的全纯函数。我们看到除了多项式的所有初等函数都以某种方式起源于指数函数。
扩展自然对数到复平面上的多值函数
ln
z
{\displaystyle \ln z}
，我们可以接着定义更一般性的指数函数：
z
w
=
e
w
ln
z
{\displaystyle \!\,z^{w}=e^{w\ln z}}
对于所有复数
z
{\displaystyle z}
和
w
{\displaystyle w}
，这也是多值函数，即使是在
z
{\displaystyle z}
为实数的情况下。前面关于正实数情况下的指数乘积规则在多值函数情况下必须改为:
(
e
z
)
w
≠
e
z
w
{\displaystyle (e^{z})^{w}\neq e^{zw}}
，而是
(
e
z
)
w
=
e
(
z
+
2
π
i
n
)
w
{\displaystyle (e^{z})^{w}=e^{(z+2\pi in)w}\,}
多值于整数n 之上。
指数函数把在复平面上任何直线映射到在复平面中以原点为中心的对数螺线。要注意两个特殊情况：当最初的线平行于实轴的时候，结果的螺线永不遮盖（close in on）自身；当最初的线平行于虚轴的时候，结果的螺线是某个半径的圆。
在复平面上指数函数（主支）
z = Re(ex+iy)
z = Im(ex+iy)